MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO RIGIDO

Il MOMENTO ANGOLARE di una massa m rispetto a un punto O è il prodotto vettoriale del vettore posizione r e del vettore quantità di moto p:

L'unità di misura è [Kgm²/s]

Il momento angolare è una grandezza analoga alla quantità di moto nel caso rotazionale. Si potrebbe dire che è "la quantità di moto rotazionale". 

 

Per definizione di prodotto vettoriale :

il modulo è :

la direzione è quella perpendicolare al piano contenente i vettori r e p
il verso è quello che si stabilisce con la regola della mano destra:

in particolare è sempre perpendicolare al piano di rotazione e dal suo verso positivo si vede il moto antiorario.

Il momento angolare è massimo quando la massa si muove in direzione perpendicolare al vettore posizione r. Il suo modulo è uguale all'area del parallelogramma con lati r e p.

 

Nel caso di un corpo rigido in rotazione (ad esempio un disco) lo consideriamo composto di tante masse puntiformi che si muovono di moto circolare a distanza ri dal centro di rotazione e con una velocità tangenziale v.
Il momento angolare della singola massa è :

mentre il momento angolare del corpo rigido è la somma dei momenti angolari delle singole masse:

 

Dunque il momento angolare di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse con momento d'inerzia I è dato dall'espressione :

è analoga alla relazione della quantità di moto: p=mv

simulazione di phet
 

video spiega come determinare il verso del momento angolare

Dunque per un corpo rigido in rotazione risulta L=I∙𝛚 e quindi anche: ∆L=I∙∆𝛚 e dividendo per il tempo ∆t si ottiene:

  

e quindi:

Ricordando che per la seconda legge del moto rotazionale:

allora possiamo scrivere la seconda legge in funzione del momento angolare:
II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE: 

Un momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE: Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta nulla anche la variazione del vettore momento angolare : 

M=0 → ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.  

∆L=Lf -Li =0

Li=Lf
Bisogna precisare che se si conserva il momento angolare L allora si conserva la direzione , il verso e il modulo di L. Ricordando che L è per definizione un vettore perpendicolare al piano formato da p e r allora se L si conserva il moto avviene su uno stesso piano.(moto piano)

Nel caso di un corpo rigido in rotazione il momento angolare si mantiene solo se si mantiene invariata la direzione del suo asse di rotazione.

Per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale anche che:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale. Se aumenta il momento d'inerzia deve necessariamente diminuire la velocità angolare.

CONDIZIONE PER LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE:

Abbiamo visto che il momento angolare si conserva solo se la risultante del momento torcente M è nullo.

Ricordando che:

M è nullo solo se Ftot =𝛴F=0 oppure Ftot // r

Quindi il momento angolare di un corpo di massa m si conserva solo se la risultante delle forze esterne applicate al corpo è nulla (SISTEMA ISOLATO) oppure le forze sono di TIPO CENTRALI (forze dirette verso il centro di rotazione).
Un esempio di forza centrale è la forza di gravità che il Sole esercita sulla Terra.

 

 

ESEMPIO: IL Pattinatore

II LEGGE DELLA DINAMICA DEL MOTO ROTAZIONALE

 

Sia M il momento della forza rispetto ad un certo punto O applicato ad una massa m che ruota intorno ad O. Il modulo è dato da: M=rF丄  .Per la II legge risulta M=r∙m∙a丄 dove  a丄 è l'accelerazione tangenziale data da a丄 =r∙𝜶 dove
𝜶 è l'accelerazione angolare. Sostituendo si ottiene:
M=r∙m∙r∙𝜶=m∙r²𝜶=I∙𝜶

Se vale per la singola massa m vale anche per un corpo rigido che ruota perchè si può sempre pensare costituito da tante masse elementari in moto circolare intorno allo stesso centro o asse. Quindi in generale per un corpo rigido in rotazione risulta: M=I∙𝜶 (II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE)

Possiamo affermare che se ad un corpo rigido si applica un momento torcente M rispetto ad un suo centro (o asse) di rotazione O, il corpo ruota con accelerazione angolare direttamente proporzionale al momento applicato. La costante di proporzionalita è il momento d'inerzia I del corpo rispetto al centro di rotazione O. Vale perciò la seconda legge della dinamica del moto rotazionale:

è del tutto analoga a quella del moto traslatorio: F=ma

La seconda legge si può anche esprimere in funzione del momento angolare.

infatti:

II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE: 

Un momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.

Li=Lf
e per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale.

 
 

APPLICAZIONI:
1) carrucola fatta girare tirando la fune con forza F:
M=Fr, I=1/2mr²

la carrucola gira con accelerazione angolare:

2) carrucola con due masse

momento totale rispetto al centro di rotazione della carrucola: 

Fissato un verso positivo (ad es. quello verso il basso di m1) Si applica II legge alle due masse e quella rotazionale alla carrucola :

dove : 

 essendo a l'accelerazione tangenziale.
 

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 APPLET : esperimento sul moto rotazionale clicca qui

CAPACITA' DI UN CONDUTTORE

Se un conduttore viene caricato con una carica q , le cariche si dispongono uniformemente sulla sua superficie. Internamente il campo E è nullo e sulla superficie è perpendicolare con valore proporzionale alla densità di carica in quel punto. Il potenziale V è costante su tutto il conduttore.
Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita?
Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale all'aumentare della carica q presente sul conduttore. La costante di proporzionalità è la CAPACITA' ELETTRICA C:

La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il Farad: 1F=1C/1V

Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande allora il suo potenziale aumenta velocemente. Se il potenziale è elevato il lavoro  per aggiungere ulteriore carica diventa molto grande perchè come è noto : L=qV se portata dall'infinito.
Se pensiamo al conduttore come ad un "contenitore di carica"  allora il valore del potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del conduttore diventa la capacità del "contenitore" di carica.
Maggiore è la capacità elettrica e maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.

Se la carica è pensata con un liquido allora il potenziale rappresenta il livello h raggiunto da questo liquido nel contenitore. In un contenitore con una sezione stretta il livello-potenziale aumenta molto velocemente (bassa capacità ). Viceversa un contenitore con sezione larga rappresenta un conduttore con alta capacità.
Da cosa dipende la capacità di un conduttore?
Dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche.

CAPACITA' ELETTRICA DI UNA SFERA CONDUTTRICE
di raggio R

Quindi la capacità C è direttamente proporzionale al raggio R della sfera.

Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore? 
Un metodo è quello di porre vicino un secondo conduttore: in questo modo si costruisce quel dispositivo chiamato CONDENSATORE.

CAPACITA' DI UN CONDENSATORE PIANO

 e quindi:

la capacità elettrica di un condensatore piano è direttamente proporzionale alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.

Per aumentare la sua capacità si possono avvicinare le due armature oppure inserire tra le due armature un materiale isolante detto DIELETTRICO.
Come noto in un isolante le cariche non sono libere di muoversi. Possiamo  schematizzare le sue molecole come dei dipoli elettrici (un dipolo è quello formato da una carica +q e una carica -q poste ad una certa distanza). Normalmente i dipoli elettrici di un dielettrico sono disposti in modo disordinato. In presenza del campo elettrico uniforme del condensatore si orientano secondo le linee di campo . I dipoli vicini all'armatura carica positivamente mostrano la loro carica negativa abbassando il valore del campo elettrico complessivo e aumentando il valore della capacità. 

la capacità si calcola inserendo la costante dielettrica del mezzo:

Alcuni valori:

Ad esempio: se si introduce una lastra di carta si amplifica la capacità del doppio. 

ENERGIA IMMAGAZZINATA NEL CONDENSATORE

L'energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro per caricare il condensatore.

Per caricare il condensatore bisogna trasportare carica dalla prima armatura alla seconda ed è dato da L= q V se V è costante durante il trasferimento della carica.

Tuttavia sappiamo che V aumenta in modo proporzionale a q

In modo simile a come si ricava l'energia potenziale di una molla , si vede che il lavoro totale è dato dall'area sottesa dal grafico V-q

Nel caso di un condensatore piano si può anche scrivere:

 

Quindi l'energia è proporzionale al quadrato del campo elettrico.

La densità di energia del campo è l'energia su unità di volume V=Ad. Dunque risulta:

Come funzione un condensatore

come costruire un condensatore

condensatore variabile

applet: funzionamento del condensatore: clicca qui

APPLICAZIONE DEI CONDENSATORI:

primi condensatori: le bottiglie di Leida

video sul funzionamento della bottiglia di Leida

costruzione di un condensatore con materiale povero

Defibrillatore

 FLASH

condensatori elettrolitici